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分形龍形曲線：從摺紙到複雜之美
引言
龍形曲線（又稱分形龍）是一種自相似碎形曲線的統稱，因其蜿蜒盤曲的形狀而得名。小説《侏羅紀公園》的插圖中就有龍形曲線的蹤跡，在解釋混沌理論時，男主角伊恩·馬爾科姆（Ian Malcolm）用龍形曲線來類比。
摺紙法：分形龍的簡易生成
分形龍的一種簡單生成方式是摺紙。取一條細長的紙條，將其對摺，再對摺，不斷重複對摺，便能逐漸生成分形龍的圖案。然而，現實中紙張無法承受太多次的對摺。
計算機輔助：無盡的迭代
計算機的介入讓分形龍的生成變得更為簡易。繪圖軟件可輕鬆實現無數次迭代。起始於一條線段，逐步將其隆起展開，形成等腰直角三角形的兩腰。不斷重複此過程，便形成了龍形曲線。
自相似、無限長、分形維度
龍形曲線由長度相等的線段組成，兩兩相交成直角。每一次迭代後，曲線的長度倍增。因此，經過無數次迭代，龍形曲線將無限延伸，這符合分形曲線的特點。此外，龍形曲線具有自相似性，分形維度為 2。
萊維龍形曲線、鑽石曲線、Z 形龍形曲線
除了《侏羅紀公園》中的龍形曲線外，還有幾種鮮為人知的造型。萊維龍形曲線與上述曲線相似，但直角邊相對斜邊放置方向不同。萊維鑽石曲線則是使用底角為 60° 的等腰梯形替代斜邊。Z 形龍形曲線通過將原始線段三等分，並使用形成的三條線段取代之。
複數乘法運算：複平面中的龍形曲線
一種特殊的龍形曲線基於複數乘法運算。通過選擇合適的迭代函數，在複平面中可以生成沿着實軸或虛軸旋轉收縮的龍形曲線。隨著迭代次數的增加，曲線最終收斂到原點。
表格：不同龍形曲線的比較
| 特徵 | 龍形曲線 | 萊維龍形曲線 | 萊維鑽石曲線 | Z 形龍形曲線 |
|---|---|---|---|---|
| 起始圖形 | 線段 | 等腰直角三角形 | 等腰梯形 | 線段 |
| 自相似性 | 是 | 是 | 是 | 是 |
| 彎折 | 有 | 有 | 部分 | 無 |
| 分形維度 | 2 | 2 | 1.5 | 1.5236 |
| 複平面 | 無 | 無 | 無 | 有 |
結論
龍形曲線是一種美麗且複雜的數學曲線，通過簡單的規則不斷迭代生成。它在數學、科學、藝術等領域都有著廣泛的應用。從摺紙到複數乘法運算，不同的生成方式孕育出豐富多樣的龍形曲線。
龍形曲線
龍形曲線是一種分形曲線，以其獨特的多尺度自相似性而著稱。它是由奧地利數學家卡爾·維斯特蘭德（Karl Weierstrass）於1872年 впервые發現的。
定義
龍形曲線是一個遞迴定義的曲線。它從一條直線段開始，並透過以下步驟產生：
- 將線段三分之一。
- 將中間的三分之一旋轉 90 度 вверх。
- 將旋轉後的線段移動到原來的線段的末端。
- 對新形成的曲線重複步驟 1-3。
結構
龍形曲線具有以下結構特徵：
- 自相似性：不論放大或縮小多少倍，龍形曲線的形狀都是相似的。
- 無處可微：龍形曲線在任何點都是不可微的。這意味著它的切線一直在變化。
- 有限長度：儘管龍形曲線的維度是非整數，但它的長度是有限的。
屬性
龍形曲線具有以下屬性：
| 屬性 | 值 |
|---|---|
| 尺寸 | 2（分形維度） |
| 長度 | 1/2 |
| 面積 | 0 |
| 圍長 | 無窮大 |
應用
龍形曲線在以下領域有許多應用：
- 計算機圖形學：用於生成自然界中看到的複雜形狀。
- 信號處理：用於分析和處理複雜信號。
- 生物學：用於建模某些生物結構，例如血管系統和神經系統。
- 人工智慧：用於訓練神經網路識別複雜模式。
代碼範例
以下 Python 代碼用於生成龍形曲線：
python
import turtle
def draw_dragon_curve(order, length):
“””遞迴函數用於繪製龍形曲線。
Args:
order: 曲線的階數。
length: 曲線線段的長度。
“””
if order == 0:
turtle.forward(length)
else:
draw_dragon_curve(order – 1, length / 3)
turtle.left(90)
draw_dragon_curve(order – 1, length / 3)
turtle.right(90)
draw_dragon_curve(order – 1, length / 3)
turtle.penup()
turtle.setpos(-200, 0)
turtle.pendown()
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雪花與上帝的指紋4 :曲折之美——百轉千回的龍形曲線
美麗的圖像:(3) 龍形曲線Dragon Curve
draw_dragon_curve(10, 400)
turtle.done()
