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蒙提霍爾悖論：三扇門後汽車謎題
引言
在蒙提霍爾悖論中，競賽者面對三扇門，僅一扇後方隱藏汽車，其餘兩扇後方則為山羊。起初競賽者選定一扇門，隨後主持人揭露另一扇山羊門，並詢問競賽者是否轉換選擇。根據邏輯，轉換選擇將大幅提高獲得汽車的機率，儘管看似違反直覺。
問題陳述
情境：
* 三扇門，一輛汽車、兩隻山羊
* 競賽者選定一扇門（一號門）
* 主持人開啟另一扇山羊門（三號門）
* 競賽者被問及是否轉換選擇（至二號門）
問題：轉換選擇是否提高獲得汽車的機率？
解釋
不轉換選擇：
* 汽車一號門後方的機率：1/3
* 山羊一號門後方的機率：2/3（二號門、三號門）
轉換選擇：
* 汽車二號門後方的機率：2/3（情境 2、3）
* 山羊二號門後方的機率：1/3（情境 1）
推理：
從最初的三種可能性（汽車一號門、二號門、三號門）出發，我們發現：
- 汽車一號門後方，轉換選擇將導致失去汽車（1/3）
- 汽車二號門、三號門後方，轉換選擇將獲得汽車（2/3）
因此，轉換選擇的總體機率為：1/3 x 0 + 2/3 x 1 = 2/3
結論
儘管一開始選擇影響機會，但主持人開啟山羊門後，轉換選擇顯著提高了競賽者獲得汽車的機率，將其由原本的 1/3 提升至 2/3。
三門問題：機率與直覺的博弈
三門問題是一種機率悖論，探討在特定情況下直覺與理性之間的衝突。
問題陳述
想像一個遊戲節目，主持人展示三個門，其中一個門後有一輛汽車，其餘兩個門後都是山羊。參賽者選擇一個門，例如門 1。接著，主持人開啟另一個門，例如門 3，並展示一隻山羊。然後，主持人詢問參賽者是否要「堅持」選擇門 1，或是「切換」到未開啟的門 2。
直覺告訴我們，既然門 3 有一隻山羊，那麼門 1 和門 2 都應該有 1/2 的機率藏著汽車。因此，堅持選擇或切換門都沒有差別。
機率分析
然而，機率分析顯示，切換門實際上可以提高獲勝機率。
| 情況 | 參賽者選擇的門 | 主持人開啟的門 | 獲勝機率 |
|---|---|---|---|
| 汽車在門 1 | 門 1 | 門 3 | 1/3 |
| 汽車在門 2 | 門 1 | 門 3 | 2/3 |
| 汽車在門 3 | 門 1 | 門 2 | 1/2 |
| 汽車在門 2 | 門 2 | 門 3 | 1/3 |
| 汽車在門 3 | 門 2 | 門 1 | 2/3 |
| 汽車在門 1 | 門 3 | 門 2 | 1/2 |
| 汽車在門 2 | 門 3 | 門 1 | 1/3 |
從表格中可以看出：
- 如果參賽者最初選擇了汽車所在的門（機率為 1/3），堅持選擇該門或切換門，獲勝機率都是 1/3。
- 如果參賽者最初選擇了沒有汽車的門（機率為 2/3），切換門可以將獲勝機率提高到 2/3，而堅持選擇該門的獲勝機率為 1/3。
因此，切換門的獲勝機率（2/3）大於堅持選擇的獲勝機率（1/3）。
直覺與理性的衝突
三門問題之所以引人入勝，是因為它揭示了直覺和理性之間的衝突。直覺告訴我們，堅持選擇或切換門沒有差別，但機率分析顯示切換門實際上可以提高獲勝機率。
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換？還是不換？
三門問題
這個悖論提醒我們，在做出決定時，除了依賴直覺，還應考慮理性的分析。機率思維可以幫助我們做出更明智的選擇，避免直覺的誤判。
